并行RLC电路分析

2022-06-02

并行RLC电路分析

并联RLC电路由一个电阻器、电容器和电感器组成，它们在其端子处共享相同的电压：

由于电压保持不变，并联配置的输入和输出被视为电流。

对于并联配置，总阻抗的倒数(Z RLC )是每个组件的反向阻抗之和：1/Z RLC =1/Z R +1/Z L +1/Z C。换句话说，电路的总导纳是每个组件导纳的总和。

该总导纳满足：

因此，在取导纳范数后，总阻抗由公式 1给出：

eq 1：并联RLC电路的总阻抗

从等式 1可以清楚地看出，当1/Lω-Cω=0时，对于某个 ω 值，阻抗会达到峰值。该脉动称为共振脉动ω 0（或共振频率f 0 =ω 0 /2π）并且由ω 0 =1/√(LC)给出。

交流行为

阻抗的快速分析可以揭示并联RLC电路的行为。考虑并联RLC电路的组件的以下值：R=56 kΩ，L=3 mH，C=5 nF。

根据这些值，我们可以计算出系统的共振频率ω 0 =2.6×10 5 rad/s。该电路由交流电源供电，其幅度为 5 A，频率从直流变化到 4×10 5 rad/S。

图 2是总阻抗和输出电流与提供给电路的角脉动 ω 的函数关系图：

图 2：并联RLC电路的总阻抗和输出电流

该图清楚地表明，在谐振频率附近，电路的阻抗达到峰值，这导致在该相同频率附近的电流输出降低。

让我们关注电路中发生的事情，更准确地说是电容器和电感器之间发生的事情，以了解这种行为。因此，首先考虑一个电容初始充电的 L//C 配置。下图显示了称为共振的循环中涉及的步骤：

图 3：L//C 电路的谐振周期

许多事情必须在图 3中进行注释。首先，红色和绿色箭头分别代表电容器两端的电场和电感器两端的磁场。箭头表示场的方向，充满电的组件用许多箭头表示，而放电的组件没有。

数字代表循环的步骤，数字8之后的下一步是步骤1。正如这一系列图中所强调的，谐振现象是由于电容器和电感器之间发生相互充电和放电造成的。该周期演变的速度由谐振频率f 0 =1/(2π√(LC)) 给出。

在实际电路中，这个循环当然不是永久的，因为内部电阻器通过焦耳加热耗散能量。但是，交流电源可以强制电路保持电感器和电容器之间的这种电流交换。

具体来说，当ω源=ω 0时，能量交换最大，所有电流都在这两个组件之间流动，而主线中没有电流通过电阻（见图 4）。另一种理解方式是通过电抗的概念。我们提醒一下，电容器 (X C ) 和电感器 (X L ) 的电抗由下式给出：

eq 2：电容和电感电抗

由ω 0的定义可知，X C (ω 0 )=X L (ω 0 )。由于电感器中的+90°相移和电容器中的 – 90°相移导致 180° 的相位差，因此组件上的电流相等但方向相反。这种现象可以在图 3中的步骤 2 和 4 或步骤 6 和 8 中看到。

在 ω 0附近工作时，这种配置通常称为抑制电路。我们将在下一节中详细介绍这一点，我们将展示一个 L//C 电路可以与一个电阻器串联以创建一个带阻滤波器。

替代配置

带阻滤波器

混合并联和串联设计的一种可能有趣的配置是与输出负载串联的并联LC滤波器，我们将在下面将此电路称为 (L//C)-R。下面的图 4给出了这种架构的表示：

图 4：(L//C)-R 电路示意图

如果我们称 Z L//C为并联LC配置的阻抗，我们可以写成 V in =V out +Z L//C ×I。知道 I=V out /R 并通过 V out分解表达式，我们可以在几步之后写出 (L//C)-R 电路的传递函数：

eq 2: (L//C)-R 传递函数

我们考虑 L=3 mH，C=5 nF，R=10 kΩ 和 20 kΩ。绘制此传递函数后，很明显 (L//C)-R 电路充当与基本并联RLC电路相同频率 ω 0附近的带阻滤波器：

图 5：(L//C)-R 传递函数图

图5还强调了这个带阻滤波器的带宽Δω随着电阻的增加而变窄的事实，这与RLC系列文章Q系列中给出的品质因数定义相矛盾=(1/R)√( L/C)=ω 0 /Δω。

事实上，这个定义对并联电路无效，并联配置的公式变为Q parallel =1/Q series =R√(C/L)，这解释了之前精确定位的图 4中的行为。

带通滤波器

一个有趣的概念叫做对偶性，使我们能够直接从另一个电路的知识中找到新电路的行为。由以下事实推导出：对某一构型施加电流或电压的方程可以应用于对偶构型的对偶量。

让我们更清楚一点，再次考虑上面详述的带阻滤波器示例。我们将此配置称为 (L//C)-R，因为并联 (//) LC电路与电阻R串联 (-)。我们已经看到该电路充当电压的带阻滤波器。

该电路的对偶是 (L//R)//R 电路，如图 6 所示：

图 6：图 5 的双电路

对偶概念告诉我们，这个对偶电路充当带阻滤波器的对偶，即带通滤波器。为了验证这个结论，我们可以从写出 I in =I out +Y L//C ×V out 开始，这与上一节中显示的等式相同，但适用于电流，如对偶概念所述。Y L//C是配置 L//C 的导纳，等于 1/Z L//C。

知道 V out =R×I out并通过用 I out分解表达式，得到：

eq 3: (L//C)//R 传递函数

我们可以看到等式 3与等式 2非常相似，但虚数项是相反的，这导致了带通滤波器的行为。我们可以再次考虑相同的值 L=3 mH、C=5 nF 和 R=10 kΩ 和 20 kΩ，并绘制此传递函数，以便结束本节并确认带通滤波器：

图 7：(L//C)//R 传递函数图

结论

并联RLC电路的行为与串联配置完全不同。这是由于 L//C 电路的能量相互交换现象称为共振。

这种现象是由于互连的电感器和电容器之间发生的相互放电/充电。这种电路的阻抗理论上在特定的脉动 ω 0处趋于无穷大，称为谐振脉动（或 f 0的谐振频率）。在实际电路中，这种阻抗由于内部电阻行为而达到峰值。

输出负载串联集成，可以制成带阻滤波器。然而，并联连接会导致相反的滤波器：带通滤波器