滤波電(diàn)路介绍

2021-06-24

滤波電(diàn)路介绍

我们介绍了電(diàn)路分(fēn)析的基本概念：节点和环路技术、无源元件及其方程，以及双极晶體(tǐ)管。现在，您应该能(néng)够在时域中进行简单的分(fēn)析，预测带二极管的電(diàn)路的工作模式并计算简单放大器的偏置点。

然而，现实生活中的電(diàn)路很(hěn)难在时域中求解，因為(wèi)系统将由几个微分(fēn)方程组成。当非線(xiàn)性组件添加到混合中时，复杂程度变得不切实际。在这种情况下，开发了频域分(fēn)析，使用(yòng)拉普拉斯和傅立叶变换来代数求解微分(fēn)方程。

本指南将以实用(yòng)的方式展示频率分(fēn)析的基本原理(lǐ)，并将其应用(yòng)于无源線(xiàn)性電(diàn)路。我们还将讨论在其设计中使用(yòng)频率分(fēn)析原理(lǐ)的不同滤波器電(diàn)路，例如低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器。

频域分(fēn)析 

我们的大脑用(yòng)于以时间為(wèi)参考来理(lǐ)解世界和过程的行為(wèi)。这称為(wèi)“时域”分(fēn)析，我们很(hěn)想用(yòng)这个框架来考虑一切，包括電(diàn)子電(diàn)路。但是，由于微分(fēn)方程通常不是很(hěn)直观，而且求解起来极其困难，因此这种方法对電(diàn)路分(fēn)析会适得其反。因此，工程师和数學(xué)家使用(yòng)拉普拉斯变换开发了“频域”框架。

图 1：时域分(fēn)析与频域分(fēn)析。 

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种数學(xué)工具，通过将时间自变量“t”转换為(wèi)复频率自变量“s”，将微分(fēn)方程组转换為(wèi)代数系统。求解步骤包括： 

将变换应用(yòng)于节点系统的每个方程。

求解 's' 中的系统。

应用(yòng)拉普拉斯逆变换以获得时域中的解。 

下面的等式描述了拉普拉斯变换，它是一个积分(fēn)变换：

正如您可(kě)能(néng)假设的那样，这些变换很(hěn)复杂，而且很(hěn)难从数學(xué)上获得。然而，由于線(xiàn)性特性，拉普拉斯变换可(kě)以直接应用(yòng)于单个组件而不是整个节点方程。因為(wèi)描述電(diàn)子元件的方程是众所周知的，所以它们的拉普拉斯变换在文(wén)献中很(hěn)容易找到。现在，求解过程变得有(yǒu)点不同：

将拉普拉斯变换应用(yòng)于電(diàn)路的每个组件和信号。

使用(yòng)节点或循环方法来解决's'中的系统。

应用(yòng)拉普拉斯逆变换以获得时域中的解。

線(xiàn)性组件

可(kě)以使用(yòng)拉普拉斯直接变换每个分(fēn)量的基本方程。这导致表示组件先前存储的能(néng)量的项和与電(diàn)压和電(diàn)流之间的比率成比例的项。后一项称為(wèi)阻抗，它充当频率相关電(diàn)阻。

電(diàn)阻：如第一个教程中所见，電(diàn)阻方程在时间上是恒定的：

由于拉普拉斯变换的性质，常数函数的变换只是相同的常数。因此，電(diàn)阻器的频率表示是電(diàn)阻器本身。

電(diàn)容器：另一方面，電(diàn)容器方程由電(diàn)压的时间导数定义：

该方程的拉普拉斯变换為(wèi)：

我们可(kě)以用(yòng)以下方式重写方程：

请注意，此等式遵循基尔霍夫電(diàn)压定律。使用(yòng)这个方程，我们可(kě)以在频域中找到電(diàn)容器的電(diàn)路模型。图 2 显示了频域模型与时域模型的比较。

图 2：電(diàn)容器的频率表示

Vc(0-)/t 项表示電(diàn)容器储存的電(diàn)压，1/sC 项称為(wèi)容抗。存储的電(diàn)压项是一个瞬态信号，随着電(diàn)容器放電(diàn)呈指数下降至零。在静止状态下，只有(yǒu)阻抗项很(hěn)重要，并且電(diàn)容器等效于值為(wèi) 1/sC 的“s”相关電(diàn)阻器。

電(diàn)感器：类似于電(diàn)容器，電(diàn)感器由電(diàn)流的时间导数定义：

该方程的拉普拉斯变换為(wèi)：

我们可(kě)以重写等式：

该方程遵循基尔霍夫電(diàn)流定律，因此是一个节点方程。我们可(kě)以将该等式的等效電(diàn)路表示為(wèi)電(diàn)流源 I(s)、并联電(diàn)流源 iL(0-)/s 和并联阻抗 sL，如图 3 所示。

图 3：電(diàn)感的频率表示

与電(diàn)容器情况类似，iL(0-)/s 项是存储的電(diàn)流，sL 是電(diàn)感阻抗。在静止状态下，電(diàn)感的作用(yòng)就像一个依赖于''的電(diàn)阻，因此得名“阻抗”。 

信号

信号源（電(diàn)压和電(diàn)流）也是时间的函数。因此，如果工程师对信号的演化感兴趣，在应用(yòng)拉普拉斯变换时，也应将这些元素转换到频域。

正弦：这是電(diàn)子學(xué)中最重要的信号之一。不仅因為(wèi)正弦很(hěn)容易产生，还因為(wèi)任何信号都可(kě)以描述為(wèi)正弦之和。转换正弦波时，请使用(yòng)以下恒等式：

阶跃：阶跃函数也对電(diàn)子學(xué)感兴趣，尤其是验证瞬态方面，例如上升时间、溢出、稳定时间等。

例子

為(wèi)了更好地理(lǐ)解该方法，让我们解决一个简单的问题。考虑下面的電(diàn)路，我们是否需要获得電(diàn)容器電(diàn)压 V C： 

图 4：时域中与简单 RC 串联的阶跃信号 

電(diàn)压V S-与振幅“V的阶梯函数IN ”和電(diàn)容器进行初始放電(diàn)。现在，我们应用(yòng)拉普拉斯变换，得到：

图 5：在频域中与简单 RC 串联的阶跃信号 

電(diàn)容器電(diàn)流I- Ç可(kě)以被描述為(wèi)：

因此，我们需要找到 V 1。由于電(diàn)容器最初放電(diàn)，我们可(kě)以考虑 。该電(diàn)路可(kě)以通过对节点 1 应用(yòng)节点分(fēn)析来求解。 使用(yòng)基尔霍夫電(diàn)流定律，我们得到：

现在，隔离 V 1：

现在我们可(kě)以找到電(diàn)容器電(diàn)流：

最后，我们应用(yòng)逆拉普拉斯变换。请记住，技术文(wén)献提供了電(diàn)子電(diàn)路中重要的几个函数的变换和逆变换，因此我们不需要计算积分(fēn)。使用(yòng)身份：

我们可(kě)以在时域中找到当前的 I C：

这一结果是有(yǒu)道理(lǐ)的，因為(wèi)目前的指数级下降与新(xīn)的電(diàn)压V電(diàn)容器充電(diàn)IN-。在 t->infinity 中，電(diàn)流降至零。请注意，指数因子的比率由 RC 定义。该参数称為(wèi)时间常数，描述信号在電(diàn)路中变化的速度。 

过滤器 

虽然拉普拉斯变换可(kě)以很(hěn)容易地应用(yòng)于及时发现信号，但電(diàn)子分(fēn)析通常可(kě)以直接在频域中执行。即：逆变换通常不是必需的。频域分(fēn)析，也称為(wèi)小(xiǎo)信号分(fēn)析（用(yòng)于有(yǒu)源電(diàn)路），可(kě)以使用(yòng)传递函数的概念在所有(yǒu)線(xiàn)性電(diàn)路中进行。在这些情况下，我们考虑静止状态的電(diàn)路。因此，之前的任何電(diàn)荷和電(diàn)流都已消散，因此我们无需考虑它们。 

传递函数分(fēn)析 

传递函数 (TF) 是一个完整描述線(xiàn)性電(diàn)路在频域中的功能(néng)的函数。要获得 TF，应定义三件事：電(diàn)路结构、输入和输出。TF 基本上是给定電(diàn)路的输入和输出之间的比率。例如，考虑到输入 V S和输出 V 1，图5 中電(diàn)路的传递函数為(wèi)：

在传递函数中，' s ' 可(kě)以替换為(wèi) ' j ω '，其中 'j' 是虚数单位，而“ω” 是输入信号的频率，单位為(wèi) rad/s。通常我们使用(yòng)以 Hz 為(wèi)单位的频率，即 f = ω/(2π)。

对于正弦波（仅适用(yòng)于正弦波或恒定信号），TF(w) 传递函数充当复数增益。复数增益具有(yǒu)模数和相位：模数直接乘以输入幅度，而相移则加到输入相位上。在本教程中，為(wèi)简单起见，我们不会讨论相位，但重要的是要知道 TF 引入了相移。可(kě)以使用(yòng)以下等式找到增益模量：

低通滤波器

现在我们终于可(kě)以讨论主要的过滤器结构了。最常见和最有(yǒu)用(yòng)的滤波器类型是“低通滤波器”，它负责消除高于所需点的频率。低通滤波器 (LPF) 的两种经典拓扑如下所示：

图 6：使用(yòng)電(diàn)容器、電(diàn)阻器和電(diàn)感器的低通滤波器

考虑输入和输出，让我们计算两个滤波器的 LPF 1 (s) 和 LPF 2 (s)。请注意，我们已经将组件转换為(wèi)其阻抗形式。使用(yòng)简单的节点方程求解，然后将 s 替换為(wèi)：

两个滤波器的增益模数变為(wèi)：

截止频率為(wèi)：

分(fēn)别用(yòng)于 RC 和 RL 電(diàn)路。LPF 的增益与频率曲線(xiàn)如下所示。

图 7：低通滤波器增益 

对于低于截止频率的频率，增益大约為(wèi) 1，这与在 DC 中電(diàn)容器开路而電(diàn)感器短路的想法一致，随着频率从截止频率增加，增益呈指数下降。

高通滤波器 

高通滤波器与低通滤波器相反。它的工作是消除低于截止频率的频率。我们通常可(kě)以通过切换電(diàn)路元件的位置来创建高通滤波器。例如，从图6的低通滤波器切换電(diàn)阻器和電(diàn)容器，我们有(yǒu)一个高通 RC 滤波器。在 LR 情况下也会发生同样的情况，如下所示。

图 8：使用(yòng)電(diàn)容器、電(diàn)阻器和電(diàn)感器的高通滤波器

使用(yòng)与低通滤波器分(fēn)析完全相同的方法，我们可(kě)以找到高通滤波器 (HPF) 增益的模数，如下所述：

请注意，分(fēn)母表现出与低通滤波器相同的行為(wèi)。然而，现在分(fēn)子随频率增加，对于直流信号為(wèi)零。这意味着，在截止频率之前（分(fēn)母约為(wèi) 1），分(fēn)子从零开始随频率增長(cháng)。到达截止点后，

，分(fēn)母可(kě)以简化為(wèi)

，与分(fēn)子相同，因此增益模数為(wèi) 1。因此，高通滤波器的增益模数对于高于截止频率的频率為(wèi) 1，对于高于截止频率的频率小(xiǎo)于 1（最终达到零）频率小(xiǎo)于截止频率。这种行為(wèi)可(kě)以在下图中看到：

图 9：高通滤波器增益

带通滤波器 

带通滤波器 (BPF) 可(kě)以看作是 HPF 和 LPF 的组合：它抑制低于较低截止频率和较高截止频率之后的频率。这种增益曲線(xiàn)

图 10：带通滤波器增益

带通電(diàn)路的典型框图如下所示。電(diàn)路实现可(kě)能(néng)有(yǒu)很(hěn)大差异，但除了框图外还给出了一个 RC 示例。和 的设计方程与為(wèi)单个 LPF 和 HPF 電(diàn)路给出的设计方程相同。

图 11：带通滤波器增益 

高阶滤波器

本教程中给出的電(diàn)路称為(wèi)一阶滤波器。也就是说，时间导数是一阶的（这意味着“s”变量指数為(wèi) 1）。可(kě)以组合電(diàn)感器和電(diàn)容器或有(yǒu)源器件来制作高阶滤波器，从而使“s”指数大于 1 并具有(yǒu)更好的抑制能(néng)力。这些过滤器将在以后的教程中讨论。